مثلثها

ساخت وبلاگ

مثلث ساده ترین شکل یک چند ضلعی است. کلمه تری به معنی سه است و بنابراین شکل با سه زاویه مثلث است و به کمک قطعات سه خطی که یکدیگر را قطع می کنند تشکیل می شود، مثلث دارای 3 رأس، 3 یال و 3 زاویه است. شکل مثلث در زندگی واقعی نیز بسیار مفید است، مانند نجاری، نجوم، تابلوهای راهنما و غیره.

تعریف مثلث

مثلث چند ضلعی است با سه ضلع و سه زاویه. با علامت △ نشان داده می شود. در مثلثی که هر مفصل دو ضلعی را رأس می نامند. یک مثلث سه رأس دارد. این یکی از ارقام اساسی است که در ریاضیات استفاده می شود، خواص مختلفی برای مثلث وجود دارد که در زیر مورد بحث قرار می گیرد.

زوایای یک مثلث

یک مثلث دارای سه زاویه است، یک زاویه تشکیل می شود که دو ضلع مثلث در یک نقطه مشترک به هم برسند، این نقطه مشترک به عنوان راس شناخته می شود. مجموع سه زاویه داخلی برابر با 180 درجه است.

وقتی اضلاع به صورت مثلث به سمت بیرون کشیده می شوند، آنگاه سه زاویه بیرونی تشکیل می شود. مجموع زوایای داخلی و خارجی یک مثلث همیشه مکمل است. همچنین مجموع هر سه زاویه بیرونی یک مثلث 360 درجه است.

ویژگی های مثلث

  • ویژگی Angle Sum: مجموع هر سه زاویه داخلی همیشه 180 درجه است. از این رو. در مثلث ΔABC نشان داده شده در بالا، ∠A+ ∠B+ ∠C= 180 درجه، زوایای داخلی یک مثلث بزرگتر از 0 درجه و کمتر از 180 درجه خواهد بود.
  • مثلث دارای 3 ضلع، 3 رأس و 3 زاویه است.
  • ویژگی زاویه بیرونی: زاویه بیرونی یک مثلث برابر است با مجموع زوایای داخلی مقابل و غیر مجاور (که به زوایای داخلی دورافتاده نیز گفته می شود). در بالا نشان داده شده ΔABC، ∠ACD= ∠ABC+ ∠BAC
  • The sum of the length of any two sides of a triangle is always greater than the third side. For example, AB+ BC> AC or BC+ AC>AB
  • ضلع مقابل بزرگترین زاویه، بزرگترین ضلع مثلث است. به عنوان مثال، در یک مثلث قائم الزاویه، ضلع مقابل 90 درجه طولانی ترین ضلع است.
  • محیط یک شکل با طول کلی که شکل پوشش می دهد تعریف می شود. بنابراین، محیط یک مثلث برابر است با مجموع طول های هر سه ضلع مثلث. محیط ΔABC= (AB + BC + AC)
  • تفاوت بین طول هر دو ضلع همیشه کمتر از ضلع سوم است. به عنوان مثال، AB-BC< AC or BC-AC< AB
  • برای مثلث های مشابه، زوایای دو مثلث باید با یکدیگر همسو باشند و اضلاع مربوطه باید متناسب باشند.
  • مساحت مثلث: 1/2× پایه × ارتفاع

فرمول های مثلثی

در هندسه ، برای هر شکل دو بعدی (شکل 2D) ، همیشه دو اندازه گیری اساسی وجود دارد که باید آن را پیدا کنیم ، یعنی منطقه و محیط آن شکل. بنابراین ، مثلث دارای دو فرمول اساسی است که به ما کمک می کند تا مساحت و محیط آن را تعیین کنیم. بگذارید با جزئیات در مورد فرمول ها بحث کنیم.

محیط مثلث

محیط یک مثلث به عنوان مجموع هر سه طرف یک مثلث تعریف می شود. فرض کنید یک مثلث با طرف های A ، B و C داده می شود و سپس محیط آن توسط آن داده می شود

Perimeter of Triangle

محیط مثلث = A + B + C

منطقه یک مثلث

مساحت یک مثلث ، کل مساحت پوشیده از مرز مثلث است. این برابر با نیمی از محصول پایه و ارتفاع آن است. مساحت یک مثلث در واحدهای مربع اندازه گیری می شود. اگر پایه مثلث B باشد و ارتفاع آن H باشد ، منطقه آن توسط داده می شود

Area of a Triangle

مساحت δ = 1/2 × B × H

منطقه مثلث با استفاده از فرمول Heron

هنگامی که سه طرف یک مثلث شناخته شده است اما ارتفاع آن ناشناخته است ، منطقه آن با استفاده از فرمول هرون محاسبه می شود. فرض کنید یک مثلث با طرفین A ، B و C واحد داده شده است و پس از آن منطقه آن با استفاده از مراحل مورد بحث در زیر محاسبه می شود

مراحل یافتن منطقه با استفاده از فرمول Herons

مرحله 1: تمام ابعاد مثلث داده شده را علامت گذاری کنید.

مرحله 2: نیمه محیط (ها) را با استفاده از فرمول S = (A+B+C) / 2 محاسبه کنید

مرحله 3: از فرمول برای یافتن منطقه استفاده کنید.

a = √ [s (s-a) (s-b) (s-c)]

جایی که،

A ، B و C طرف های یک مثلث هستند

انواع مثلث

طبقه بندی مثلث ها بر اساس ویژگی های زیر انجام می شود:

  • انواع مثلث بر اساس طرفین
  • انواع مثلث بر اساس زاویه ها

انواع مثلث بر اساس طرفین

بر اساس طرفین ، مثلث ها به صورت طبقه بندی می شوند

  • مثلث اسکالن
  • مثلث متساوی الساقین
  • مثلث متساوی الاضلاع

Types of Triangles Based on Sides

مثلث متساوی الاضلاع

در یک مثلث دو طرفه ، هر سه طرف با یکدیگر برابر هستند و همچنین هر سه زاویه داخلی مثلث دو طرفه برابر هستند.

از آنجا که تمام زاویه های داخلی برابر هستند و مجموع زاویه های داخلی یک مثلث 180 درجه است (یکی از خواص مثلث). ما می توانیم زوایای جداگانه یک مثلث دو طرفه را محاسبه کنیم.

بنابراین ، 3∠A = 180 درجه

از این رو ، ∠A = ∠B = ∠C = 60 درجه

خواص مثلث دو طرفه

  • همه طرفین برابر هستند.
  • تمام زوایا برابر است و برابر با 60 درجه است
  • سه خط تقارن در یک مثلث دو طرفه وجود دارد
  • خط زاویه ای ، ارتفاع ، میانه و خط عمود بر همه یکسان است و در اینجا AE است.
  • ارتقا دهنده و سانتروئید یکسان هستند.

فرمول های مثلث دو طرفه

فرمول های اساسی مثلث های دو طرفه عبارتند از:

مثلث متساوی الساقین

در یک مثلث ایزوله ، دو طرف برابر هستند و دو زاویه مقابل طرفین نیز برابر هستند. می توان گفت که هر دو طرف همیشه متناسب هستند. مساحت یک مثلث ایزوله با استفاده از فرمول برای مساحت مثلث همانطور که در بالا مورد بحث قرار گرفت محاسبه می شود.

خواص مثلث ایزوله

  • دو طرف مثلث ایزوله همیشه برابر است
  • طرف سوم به عنوان پایه مثلث گفته می شود و ارتفاع از پایه به راس مخالف محاسبه می شود
  • زاویه های مخالف مربوط به دو طرف مساوی نیز با یکدیگر برابر هستند.

مثلث اسکالن

در یک مثلث اسکالن ، همه طرف ها و همه زاویه ها نابرابر هستند. تصور کنید که یک مثلث را به طور تصادفی ترسیم کنید و هیچ یک از طرف های آن برابر نیستند ، همه زوایا نیز با یکدیگر متفاوت است.

خواص مثلث اسکالن

  • هیچ یک از طرفین برابر با یکدیگر نیستند.
  • زاویه های داخلی مثلث اسکالن همه متفاوت است.
  • هیچ خط تقارن وجود ندارد.
  • هیچ نکته ای از تقارن دیده نمی شود.
  • زاویه های داخلی ممکن است از نظر طبیعت حاد ، چاق و یا زاویه ای راست باشد (این طبقه بندی مبتنی بر زاویه ها است).
  • کوچکترین طرف مقابل کوچکترین زاویه و بزرگترین طرف مقابل بزرگترین زاویه (خاصیت عمومی) است.

انواع مثلث بر اساس زاویه ها

بر اساس زاویه ها ، مثلث ها به صورت طبقه بندی می شوند

  • مثلث زاویه دار حاد
  • مثلث زاویه دار
  • مثلث قائم الزاویه

Types of Triangles Based on Angles

مثلث زاویه دار حاد

در مثلث های زاویه حاد ، تمام زاویه ها بیشتر از 0 درجه و کمتر از 90 درجه هستند. بنابراین می توان گفت که هر 3 زاویه از نظر ماهیت حاد هستند (زاویه ها کمتر از 90 درجه هستند)

خواص مثلث های زاویه دار حاد

  • تمام زوایای داخلی همیشه کمتر از 90 درجه با طول های مختلف طرفین خود هستند.
  • خطی که از پایه به راس مخالف می رود همیشه عمود است.

مثلث زاویه دار

در یک مثلث زاویه ای چاق ، یکی از 3 طرف همیشه از 90 درجه بیشتر خواهد بود و از آنجا که مجموع هر سه طرف 180 درجه است ، بقیه دو طرف کمتر از 90 درجه خواهند بود (خاصیت جمع زاویه).

خواص مثلث زاویه دار چاق

  • یکی از سه زاویه همیشه بیشتر از 90 درجه است.
  • مجموع دو زاویه باقی مانده همیشه کمتر از 90 درجه (خاصیت جمع زاویه) است.
  • دور و ارتقا دهنده زاویه چاق در خارج از مثلث قرار دارد.
  • Connenter و Centroid در داخل مثلث قرار دارند.

مثلث قائم الزاویه

هنگامی که یک زاویه مثلث دقیقاً 90 درجه است ، مثلث به عنوان مثلث زاویه ای مناسب شناخته می شود.

خواص مثلث زاویه دار راست

  • یک مثلث زاویه دار راست باید یک زاویه دقیقاً برابر با 90 درجه داشته باشد ، ممکن است اسکالن یا ایزوسل باشد اما از آنجا که یک زاویه باید 90 درجه باشد ، از این رو ، هرگز نمی تواند یک مثلث یک طرفه باشد.
  • طرف مقابل 90 درجه هیپوتنوز نامیده می شود.
  • طرفین مجاور 90 درجه پایه و عمود هستند.
  • قضیه فیثاگوراس: این یک ویژگی خاص برای مثلث های زاویه دار راست است. بیان می کند که مربع هیپوتنوز برابر با مجموع مربع های پایه و عمود است یعنی AC 2 = AB 2 + BC 2

نمونه های حل شده در مثلث

مثال 1: در مثلث.∠ACD = 120 درجه ، و ∠ABC = 60 درجه. نوع مثلث را پیدا کنید.

راه حل:

در شکل فوق می توان گفت ، ∠ACD = ∠ABC + ∠BAC (خاصیت زاویه خارجی)

120 ° = 60 ° + ∠BAC

∠BAC = 60 درجه

∠A + ∠B + ∠C = 180 °

∠C یا ∠ACB = 60 درجه

از آنجا که هر سه زاویه 60 درجه است ، مثلث یک مثلث دو طرفه است.

مثال 2: مثلث با طرفین 5 سانتی متر ، 5 سانتی متر و 6 سانتی متر آورده شده است. منطقه و محیط مثلث را پیدا کنید.

راه حل:

با توجه به ، طرف های یک مثلث 5 سانتی متر ، 5 سانتی متر و 6 سانتی متر است

محیط مثلث = (5 + 5 + 6) = 16 سانتی متر

نیمه پیرامون = 16/2 = 8 سانتی متر

مساحت مثلث = √s (S - A) (S - B) (S - C) (با استفاده از فرمول Heron)

= 8 (8 - 5) (8 - 5) (8 - 6)

= √144 = 12 سانتی متر 2

مثال 3: در مثلث زاویه دار سمت راست ، ∠ACB = 60 درجه و طول پایه به عنوان 4 سانتی متر داده می شود. منطقه مثلث را پیدا کنید.

راه حل:

با استفاده از فرمول مثلثاتی TAN60 درجه ،

tan60 ° = ab / bc = ab / 4

ab = 4√3cm

مساحت مثلث ABC = 1/2 = 1/2 × 4 × 4√3 = 8√3 سانتی متر 2

مثال 4: در ΔABC اگر ∠A+ ∠B = 55 °.∠B + ∠C = 150 ° ، زاویه B را به طور جداگانه پیدا کنید.

راه حل:

ویژگی Angle Sum یک مثلث می گوید ∠A+ ∠B+ ∠C = 180 °

با توجه به: ∠A+ ∠B = 55 ° ∠B+ ∠C = 150 °

اضافه کردن 2 معادله فوق ،

∠A+ ∠B+ ∠B+ ∠C = 205 ° 180 °+ ∠B = 205 °

∠B = 25 درجه

سؤالات متداول در مثلث

سوال 1: مثلث چیست؟

پاسخ:

مثلث چند ضلعی است ، با سه طرف و سه راس. یک مثلث همچنین دارای سه زاویه و جمع هر سه زاویه مثلث 180 درجه است.

سوال 2: فرمول های مثلث اصلی چیست؟

پاسخ:

فرمول های مثلث اصلی عبارتند از.

منطقه مثلث

a = [(½) b × h]

جایی که "B" پایه است و "H" ارتفاع مثلث است.

محیط یک مثلث

P = (A + B + C)

جایی که "A" ، "B" و "C" طرف های مثلث هستند.

سوال 3: شش نوع اصلی مثلث چیست؟

پاسخ:

  • مثلث های زاویه حاد
  • مثلث های زاویه ای چاق
  • مثلث های زاویه ای راست
  • مثلث های کوچک
  • مثلث های ایزوسل
  • مثلث های دو طرفه

سوال 4: خصوصیات مثلث ها چیست؟

پاسخ:

  • جمع هر سه زاویه مثلث برابر با 180 درجه است.
  • زاویه های مساوی از طرفین برابر با آنها برخوردار هستند.
  • مجموع طول هر دو طرف یک مثلث همیشه از طرف سوم بیشتر است.

سوال 5: آیا مثلث ایزولس همیشه مثلث زاویه حاد است؟

پاسخ:

نه ، مثلث ایزوسل همیشه مثلث زاویه حاد نیست بلکه می تواند یک زاویه حاد ، زاویه راست یا مثلث زاویه دار بسته به ارزش زاویه های یک مثلث باشد.

سؤال 6: تفاوت بین اسکالن ، ایزوله ها و مثلث های دو طرفه چیست؟

پاسخ:

بر اساس طرفین مثلث ها از سه نوع هستند:

  • مثلث Scalene: مثلث با هر سه طرف نابرابر یک مثلث اسکالن نامیده می شود.
  • مثلث Isosceles: مثلث که در آن هر دو طرف برابر است ، مثلث ایزوله است.
  • مثلث دو طرفه: مثلث با هر سه طرف برابر است مثلث یک طرفه.

سوال 7: تفاوت بین مثلث زاویه حاد ، مثلث زاویه ای چاق و مثلث زاویه ای مناسب چیست؟

پاسخ:

  • مثلث زاویه حاد: مثلث با هر سه زاویه به عنوان زاویه حاد مثلث زاویه حاد نامیده می شود.
  • مثلث زاویه ای چاق: مثلث با هر زاویه ای به عنوان زاویه چاق ، مثلث زاویه زاویه ای نامیده می شود.
  • مثلث زاویه ای راست: مثلث با هر زاویه ای به عنوان زاویه راست مثلث زاویه ای راست نامیده می شود.

سوال 8: توضیح دهید که چرا یک مثلث با زاویه دار راست هرگز نمی تواند یک مثلث دو طرفه باشد.

پاسخ:

مثلث زاویه دار راست یکی با هر یک از زوایای آن برابر با 90 درجه است و زاویه های دیگر کمتر از 90 درجه هستند. در حالی که در یک مثلث یک طرفه ، تمام زوایای داخلی برابر هستند و از این رو برابر با 60 درجه هستند ، بنابراین هرگز در یک مثلث با زاویه راست امکان پذیر نیست. بنابراین یک مثلث با زاویه راست هرگز نمی تواند یک مثلث برابر باشد.

مدرسه ی فارکس...
ما را در سایت مدرسه ی فارکس دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : مینا لاکانی بازدید : 71 تاريخ : سه شنبه 8 فروردين 1402 ساعت: 0:19