برنامه های مشتقات

برنامه های مشتقات نه تنها در ریاضیات بلکه در زندگی واقعی نیز متفاوت است. برای مثال ، مشتقات دارای برنامه های مهم مختلفی در ریاضیات مانند یافتن میزان تغییر یک کمیت ، یافتن مقدار تقریب ، یافتن معادله مماس و طبیعی به یک منحنی و یافتن حداقل و حداکثر ارزش ها هستند. عبارات جبری.

مشتقات به شدت در زمینه هایی مانند علوم ، مهندسی ، فیزیک و غیره مورد استفاده قرار می گیرند. در این مقاله ، ما کاربرد مشتقات را در زندگی واقعی یاد خواهیم گرفت. ما به طور مفصل در مورد این برنامه های مشتقات یاد می گیریم.

برنامه های مشتقات در ریاضیات

در ریاضیات ، مشتقات استفاده گسترده ای دارند. آنها در بسیاری از مواقع مانند یافتن حداکثر یا حداقل عملکرد ، پیدا کردن شیب منحنی و حتی نقطه تورم استفاده می شوند. چند مکان که از مشتق استفاده خواهیم کرد در زیر آورده شده است. و هر یک از آن در بخش های بعدی به تفصیل توضیح داده شده است. متداول ترین استفاده از کاربرد مشتقات در:

• یافتن نرخ تغییر یک مقدار
• پیدا کردن مقدار تقریب
• پیدا کردن معادله مماس و عادی به یک منحنی
• پیدا کردن حداکثر و مینیما و نقطه تورم
• تعیین عملکردهای افزایش یافته و کاهش

مشتق برای میزان تغییر یک مقدار

از مشتقات برای یافتن میزان تغییرات یک مقدار با توجه به مقدار دیگر استفاده می شود. با استفاده از کاربرد مشتقات می توانیم با توجه به تغییر در مقدار دیگر ، تغییر تقریبی در یک مقدار را پیدا کنیم. فرض کنید ما یک تابع y = f (x) داریم ، که در بازه [a ، a+h] تعریف شده است ، سپس میانگین نرخ تغییر در عملکرد در بازه معین است

اکنون با استفاده از تعریف مشتق ، می توانیم بنویسیم

که همچنین میزان فوری تغییر عملکرد F (x) در a است.

اکنون ، برای یک مقدار بسیار کوچک H ، می توانیم بنویسیم

این بدان معناست که اگر می خواهیم تغییر کوچک در یک تابع را پیدا کنیم ، فقط باید مشتق عملکرد را در نقطه معین پیدا کنیم و با استفاده از معادله داده شده می توانیم تغییر را محاسبه کنیم. از این رو مشتق سرعت تغییر یک تابع را در محدوده داده شده می دهد و می تواند برای یافتن تغییر تخمین زده شده در عملکرد F (x) برای تغییر کوچک در متغیر دیگر (x) استفاده شود.

مقدار تقریب

مشتق یک تابع می تواند برای یافتن تقریب خطی یک تابع در یک مقدار معین استفاده شود. روش تقریب خطی توسط نیوتن ارائه شد و وی پیشنهاد کرد که مقدار عملکرد را در نقطه معین پیدا کند و سپس معادله خط مماس را پیدا کند تا مقدار تقریباً نزدیک به عملکرد را پیدا کند. معادله عملکرد مماس است

مماس تقریب بسیار خوبی به نمودار عملکرد خواهد بود و نزدیکترین مقدار عملکرد را می دهد. بگذارید این موضوع را با یک مثال درک کنیم ، می توانیم با استفاده از تقریب خطی ، مقدار √9. 1 را تخمین بزنیم. در اینجا ما عملکردی داریم: f (x) = y = √x. ما مقدار √9 را پیدا خواهیم کرد و با استفاده از تقریب خطی ، مقدار 9/1 √ را پیدا خواهیم کرد.

ما f (x) = √x داریم ، سپس f '(x) = 1/(2√x)

قرار دادن a = 9 در l (x) = f (a) + f '(a) (x - a) ، ما دریافت می کنیم

این مقدار بسیار نزدیک به مقدار واقعی √ است (9. 1)

از این رو با استفاده از مشتقات ، می توانیم تقریب خطی عملکرد را پیدا کنیم تا مقدار آن را به عملکرد نزدیک کنیم.

مماس و طبیعی به یک منحنی

معادله خط مماس و عادی به یک منحنی یک عملکرد را می توان با استفاده از مشتقات محاسبه کرد. اگر منحنی یک تابع داشته باشیم و می خواهیم معادله مماس را به یک منحنی در یک نقطه معین پیدا کنیم ، پس با استفاده از مشتق ، می توانیم شیب و معادله خط مماس را پیدا کنیم. مماس خطی به منحنی است که فقط منحنی را در یک نقطه واحد لمس می کند و شیب آن برابر با مشتق منحنی در آن نقطه است. شیب (M) مماس به یک منحنی یک تابع y = f (x) در یک نقطه ((x_1 ، y_1) ) با گرفتن مشتق عملکرد (m = f '(x)) بدست می آیدبشر

با پیدا کردن شیب خط مماس به منحنی و استفاده از معادله (m = (y - y_1)/(x - x_1) ) ، می توانیم معادله خط مماس را به منحنی پیدا کنیم. به طور مشابه ، می توانیم معادله خط عادی را به منحنی یک تابع در یک نقطه پیدا کنیم. این خط عادی طبیعی (عمود) به خط مماس خواهد بود. از این رو شیب خط عادی به یک منحنی یک تابع y = f (x) در یک نقطه ((x_1 ، y_1) ) به شرح زیر داده شده است.

و با استفاده از معادله ( - 1/m = (y - y_1)/(x - x_1) ) می توانیم معادله خط عادی را به منحنی پیدا کنیم.

حداکثر ، حداقل و نقطه تورم

استفاده از مشتقات نیز در یافتن حداکثر ، حداقل و نقطه تورم منحنی مفید است. ماکسیما و مینیما قله ها و دره های یک منحنی هستند ، در حالی که نقطه تورم بخشی از منحنی است که منحنی ماهیت آن را تغییر می دهد (از محدب به مقعر یا برعکس). با استفاده از آزمون مشتق مرتبه اول می توانیم حداکثر ، حداقل و نقطه تورم را پیدا کنیم. با توجه به این آزمایش ، ما ابتدا مشتق عملکرد را در یک نقطه معین می یابیم و آن را با 0 ، یعنی F '(c) = 0 برابر می کنیم (در اینجا ما شیب منحنی برابر با 0 را پیدا کرده ایم ، به این معنی است. یک خط موازی با محور x است). حال اگر تابع در فاصله زمانی مشخص شده باشد ، ما مقدار f '(x) را در نقاط دراز کشیده در سمت چپ منحنی و سمت راست منحنی بررسی می کنیم و ماهیت f' (x) را بررسی می کنیم.، سپس می توانیم بگوییم که نقطه داده شده بر اساس شرایط زیر حداکثر یا حداقل است.

• Maxima وقتی شیب یا f '(x) علامت خود را از +ve ب ه-ve تغییر می دهد زیرا از طریق نقطه c حرکت می کنیم. و F (c) حداکثر مقدار است.
• حداقل هنگامی که شیب یا f '(x) هنگام حرکت از طریق نقطه c ، علامت خود را ا ز-ve به +ve تغییر می دهد. و F (c) حداقل مقدار است.
• نقطه C نقطه ای از تورم نامیده می شود که علامت شیب یا علامت f (x) تغییر نمی کند زیرا ما از طریق c حرکت می کنیم.

عملکردهای در حال افزایش و کاهش

با استفاده از مشتقات ، می توانیم دریابیم که آیا یک عملکرد یک عملکرد در حال افزایش یا در حال کاهش است یا خیر. عملکرد در حال افزایش تابعی است که به نظر می رسد به بالای صفحه X-Y می رسد در حالی که به نظر می رسد عملکرد کاهش یافته به گوشه نزولی هواپیمای X-Y می رسد. بگذارید بگوییم ما یک تابع f (x) داریم که در محدوده قابل متفاوت است (a ، b). سپس هر دو نقطه را روی منحنی عملکرد بررسی می کنیم.

مباحث مرتبط در مورد کاربردهای مشتقات:

یادداشت های مهم در مورد کاربردهای مشتقات:

• استفاده از مشتقات برای یافتن میزان تغییرات یک مقدار با توجه به مقدار دیگر استفاده می شود.
• معادله خط مماس و عادی به یک منحنی یک عملکرد را می توان با استفاده از مشتقات محاسبه کرد.
• مشتق یک تابع می تواند برای یافتن تقریب خطی یک تابع در یک مقدار معین استفاده شود.

نمونه های حل شده

مثال 1: حداکثر و حداقل یک عملکرد را پیدا کنید: y = 2x 3 - 3x 2 + 6 با استفاده از فرمول برای برنامه های مشتقات.

راه حل

عملکرد داده شده: y = 2x 3 - 3x 2 + 6

با استفاده از آزمون مشتق مرتبه دوم می توانیم حداکثر و حداقل یک عملکرد را پیدا کنیم:

گرفتن مشتق مرتبه اول:

y = 2x 3-3x 2 + 6 ------------- (EQ 1)

هر دو طرف را متمایز کنید (EQ 1) ، W. R. T - x.

⇒ dy/dx = d/dx (2x 3) - d/dx (3x 2) + d/dx (6)

⇒ dy/dx = 6x 2 - 6x + 0

قرار دادن dy/dx = 0 برای یافتن نکات مهم.

نقاط مهم 0 و 1 است.

هر دو طرف (eq 2) ، W. R. T - x را متمایز کنید.

⇒ D 2 y/dx 2 = d/dx (6x 2) - d/dx (6x)

⇒ D 2 y/dx 2 = 12x - 6

اکنون مقدار x را قرار دهید و مقدار حداکثر یا حداقل را پیدا کنید.

در x = 0 ، d 2 y/dx 2 = 12 (0) - 6 = -6 ، از این رو x = 0 حداکثر است

در x = 1 ، d 2 y/dx 2 = 12 (1) - 6 = 6 ، از این رو x = 1 حداقل است

پاسخ: حداکثر عملکرد در x = 0 است و حداقل عملکرد در x = 1 است.

مثال 2: i f f (4) = 5 و f '(4) = 9 ، با استفاده از کاربرد مشتقات ، مقدار f (4. 1) را پیدا کنید.

راه حل:

با توجه به: f (4) = 5 و f '(4) = 9

استفاده از فرمول برای تقریب:

پاسخ: مقدار F (4. 1) 5. 9 است.

با استفاده از منطق ، به یک قهرمان حل مسئله تبدیل شوید ، نه قوانین. دلیل پشت ریاضی را با کارشناسان معتبر ما بیاموزید

سؤالات مربوط به برنامه های مشتقات را تمرین کنید

سؤالات متداول در مورد کاربردهای مشتقات

کاربرد مشتقات در ریاضی چیست؟

در ریاضیات ، مشتقات استفاده گسترده ای دارند. آنها در بسیاری از مواقع مانند یافتن حداکثر یا حداقل عملکرد ، پیدا کردن شیب منحنی و حتی نقطه تورم استفاده می شوند. چند مکان که ما از مشتق استفاده خواهیم کرد در زیر آورده شده و سپس در بخش های زیر یکی یکی را توضیح می دهد. متداول ترین استفاده از کاربرد مشتقات در مناطق زیر مشاهده می شود.

• یافتن نرخ تغییر یک مقدار
• پیدا کردن مقدار تقریب
• پیدا کردن مماس و طبیعی به یک منحنی
• پیدا کردن حداکثر و مینیما و نقطه تورم
• تعیین عملکردهای افزایش یافته و کاهش

کاربرد تمایز در زندگی واقعی چیست؟

تمایز در زندگی واقعی استفاده گسترده ای دارد. تعدادی از برنامه ها عبارتند از:

• در تجارت ، از تمایز برای یافتن سود و زیان برای آینده سرمایه گذاری با استفاده از نمودارها استفاده می شود.
• تغییرات دما نیز با استفاده از تمایز محاسبه می شود.
• برای محاسبه میزان تغییر فاصله یک بدن متحرک با توجه به زمان استفاده می شود.

کاربردهای حساب دیفرانسیل چیست؟

از مشتقات برای یافتن میزان تغییرات یک مقدار با توجه به مقدار دیگر استفاده می شود. معادله خط مماس و عادی به یک منحنی یک عملکرد را می توان با استفاده از مشتقات محاسبه کرد. مشتق یک تابع می تواند برای یافتن تقریب خطی یک تابع در یک مقدار معین استفاده شود. مشتقات همچنین در یافتن حداکثر ، حداقل و نقطه تورم منحنی مفید هستند.

کدام مباحث تحت استفاده از مشتقات قرار می گیرند؟

فصل های زیر تحت استفاده از مشتق قرار می گیرند:

• از مقادیر
• تقریبی
• عملکردهای در حال افزایش و کاهش.
• Maxima و Minima.
• مماس و عادی.
• افزایش و عملکرد عملکرد.

چرا مشتقات در ریاضیات مهم هستند؟

مشتقات نشان دهنده نرخ تغییر است. در ریاضیات ، میزان تغییر در بسیاری از شرایط قابل استفاده است. به عنوان مثال ، شتاب سرعت تغییر سرعت است. بنابراین ، از یک عملکرد مشتق می توان برای تعیین شتاب یک شی در هنگام داده شدن سرعت در طول زمان استفاده کرد.