SUNJIE ژانگ گروه کنترل و مهندسی کنترل ، دانشگاه شانگهای برای علوم و فناوری ، شانگهای ، جمهوری خلق چین مکاتبات Zhang_sunjie@126. com اطلاعات نویسنده بیشتر

Yongxiong Wang گروه کنترل و مهندسی کنترل ، دانشگاه شانگهای برای علوم و فناوری ، شانگهای ، جمهوری خلق Chinaview اطلاعات نویسنده بیشتر

• استناد را بارگیری کنید
• https://doi. org/10. 1080/21642583. 2019. 1707725
• جایگاه

مقالات

استخراج نقطه ویژگی بهبود یافته و عدم تطابق الگوریتم

• مقاله کامل
• ارقام و داده ها
• منابع
• استناد
• معیارهای
• مجوز
• چاپ مجدد و مجوزها
• مشاهده pdf pdfview epub epub

خلاصه

نمایش فرمول:؟فرمول های ریاضی به عنوان MATHML رمزگذاری شده اند و در این نسخه HTML با استفاده از MathJax به منظور بهبود نمایشگر خود نمایش داده می شوند. جعبه را برای خاموش کردن MathJax از آن جدا کنید. این ویژگی به JavaScript نیاز دارد. برای بزرگنمایی روی فرمول کلیک کنید.

برای الگوریتم های تطبیق تصویر موجود ، برخی از کاستی های ذاتی ، مانند میزان عدم تطابق بالا و راندمان محاسباتی پایین ، تأثیر بدی در عملکرد بومی سازی همزمان بصری و نقشه برداری (VSLAM) ایجاد می کند. در این مقاله ، یک آمار حرکتی مبتنی بر شبکه برای روش اجماع نمونه سریع و تصادفی (GMS-RANSAC) با ترکیب با استفاده از مکان چند منظوره حساس هش (LSH) مبتنی بر تشخیص گوشه ای بر اساس تست بخش شتاب و سریع گراالگوریتم کوتاه چرخشی (Agast-Orb) برای بهبود زمان واقعی و صحت تطبیق تصویر پیشنهاد شده است. برای این منظور ، الگوریتم AGAST و الگوریتم چند پروانه LSH ابتدا در الگوریتم سنتی Orb برای به دست آوردن مجموعه تطبیق اولیه ادغام می شوند. به طور خاص ، نقاط ویژگی تصویر توسط الگوریتم AGAST استخراج می شوند و سپس جهت اصلی نقاط ویژگی با توجه به روش شدت Centroid برای تضمین تغییر چرخشی نقاط ویژگی ارائه می شود. بر اساس نقاط ویژگی استخراج شده ، الگوریتم چند پروانه LSH ، که از راندمان زمان بالا آن بهره می برد ، برای تولید جفت های تطبیق اولیه استفاده می شود. در آنچه در زیر می آید ، یک الگوریتم GMS-RANSAC ، که با اضافه کردن یک مدل محدودیت شباهت جهت و الگوریتم سنتی RANSAC بهبود می یابد ، برای بهبود دقت در حذف نتیجه بیشتر انجام می شود. سرانجام ، آزمون عملکرد از طریق یک مجموعه داده استاندارد Mikolajczyk اجرا می شود و تأیید می شود که الگوریتم پیشنهادی نسبت به الگوریتم های تطبیق تصویر سنتی از دقت و کارآیی تطبیق بالاتری برخوردار است.

1. معرفی

بومی سازی و نقشه برداری در زمان واقعی دو مشکل اساسی در زمینه ناوبری و کنترل روباتیک هستند. بومی سازی و نقشه برداری همزمان (SLAM) (Mur-Artal ، Montiel ، & Tardos ، 2015 ، 2017) یکی از فناوری های مهم برای حل این دو مشکل است و به طور گسترده در زمینه های روبات های نظامی ، رانندگی اتوماتیک و واقعیت تقویت شده اعمال می شود. از آنجا که تصاویر یا فیلم ها می توانند اطلاعات غنی از محیط زیست را ارائه دهند ، اکثریت تحقیقات در مورد کنسانتره SLAM بر روی SLAM Vision (Vsalm). در Vslam ، دقت تطبیق تصویر ، به عنوان یکی از هسته های SLAM ، بر بومی سازی و نقشه برداری در مراحل بعدی تأثیر می گذارد و کاربردهای مختلفی در زمینه های موزاییک تصویر ، ردیابی هدف ، تشخیص چهره و بازسازی سه بعدی (Bueno ، Diaz-Vilarinoino، مارتینز-سانچز ، گونزالز-جورج ، و لورنزو ، 2015 ؛ نگوین-دوک ، کوان ، و جئونگ ، 2019). تاکنون ، الگوریتم های تطبیق تصویر به سه دسته اصلی تقسیم می شوند: تطبیق مبتنی بر خاکستری ، تطبیق مبتنی بر ویژگی و تطبیق مبتنی بر رابطه. در میان دیگر ، اولین قدم در الگوریتم تطبیق مبتنی بر ویژگی ، استخراج ویژگی های تصویر است که ممکن است نقاط ، خطوط یا مناطق باشد ، سپس توصیف کننده ها را تولید کرده و در نهایت با ویژگی های دو تصویر بر اساس سطح شباهت توصیف کننده ها مطابقت داشته باشد.

در الگوریتم های ذکر شده در بالا ، تأثیر توصیف کننده استخراج شده توسط الگوریتم SIFT بهترین است. الگوریتم گشت و گذار مقام دوم را می گیرد. با این حال ، پیچیدگی محاسباتی این دو الگوریتم بسیار بزرگ است و برای موقعیت های زمان واقعی مناسب نیست. الگوریتم ORB سرعت محاسبه بالایی دارد ، اما دقت همیشه رضایت بخش نیست. نحوه انتخاب جفت تطبیق صحیح از مسابقه اشتباه مورد توجه قرار گرفته است. Bian et al. الگوریتم GMS می تواند تطبیق با کمال با کیفیت بالا را تبدیل کند ، و تحقق یک زمان واقعی را تحقق بخشید ، GMS (Bian et al. ، 2017) (آمار حرکت مبتنی بر شبکه برای مکاتبات ویژگی های سریع ، فوق العاده-راوبست) را پیشنهاد کرد. و سیستم قوی قویبا معرفی مفهوم صاف کردن محدودیت ها ، جفت تطبیق صحیح و جفت تطبیق اشتباه متمایز می شوند و صافی حرکت در یک محاصره می شود. در منطقه ، چندین مسابقه در منطقه وجود دارد و یک روش ساده از نظر آماری با احتمال تطبیق. به عبارت ساده تر ، اگر حرکت صاف باشد ، تصاویر از همان شیء از دیدگاه های مختلف گرفته می شوند ، پیکسل های مجاور با نقاط ویژگی حرکت می کنند. به این ترتیب ، نقاط برجسته ای در مورد مسابقه صحیح وجود خواهد داشت که از تطبیق پشتیبانی پشتیبانی می کند ، و هیچ امتیاز مشخصی در مورد مسابقه اشتباه برای مطابقت با آن وجود ندارد ، به طوری که می توان مسابقه اشتباه را فیلتر کرد. پس از افزودن الگوریتم GMS ، اثر تطبیق بدیهی است از الگوریتم Orb بهتر است و میزان تطبیق صحیح نیز به طور قابل توجهی بهبود یافته است و عملکرد در زمان واقعی هنوز هم می تواند حفظ شود. با این حال ، الگوریتم GMS هنوز بر اساس جفت تطبیق اولیه الگوریتم Orb است ، و میزان عدم تطابق آن بسیار زیاد است ، بنابراین نرخ تطبیق صحیح هنوز انتظارات ما را برآورده نمی کند. با توجه به این مضرات ، در این مقاله ، ما الگوریتم جدیدی را برای حل مشکل طراحی می کنیم. در این الگوریتم ، ما از طریق استخراج بهبود یافته و تطبیق نقاط ویژگی در الگوریتم Orb یک مجموعه تطبیق بهتر را بدست می آوریم. سپس الگوریتم GMS را با محدودیت شبکه ترکیب کرده و محدودیت جهت گیری را از طریق الگوریتم Ransac (Stringari ، Harris ، & Power ، 2019) اضافه کنید تا عدم تطابق را از بین ببرد.

بقیه این مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است: در بخش 2 ، ما الگوریتم تطبیق تصویر Orb را معرفی می کنیم ، که شامل استخراج نقاط ویژگی ، ایجاد توصیف کننده و تطبیق وکتور ویژگی است. در بخش 3 الگوریتم A-ORB را پیشنهاد می کنیم. برای استخراج نقاط ویژگی ، ما از یک الگوریتم AGAST بهبود یافته برای استخراج نقاط ویژگی و اختصاص جهت به نقاط ویژگی استفاده می کنیم. برای مشکل درصد بالای عدم تطابق در مسابقه BF ، ما از یک الگوریتم چند پروانه LSH برای بهبود دقت تطبیق استفاده می کنیم. در بخش 4 ، ابتدا الگوریتم GMS را توضیح می دهیم ، سپس از محدودیت های جهت برای از بین بردن عدم تطابق برای غلبه بر ضرر الگوریتم GMS استفاده می کنیم. سرانجام ، ما الگوریتم GMS-SIM-RANSAC را پیشنهاد می کنیم. جریان دقیق و کد شبه الگوریتم نیز در این بخش آورده شده است. در بخش 5 ، آزمایشاتی برای اثبات کارآیی الگوریتم جدید انجام شده است. نتیجه گیری در بخش 6 آورده شده است.

2. الگوریتم Orb

در این بخش ، ما به طور خلاصه سه مرحله از یک الگوریتم مشهور Orb را معرفی می کنیم: استخراج نقاط ویژگی ، ایجاد توصیف کننده ها و تطبیق بردارهای ویژگی.

2. 1استخراج نقاط ویژگی

سریع در الگوریتم Orb معمولاً برای استخراج نقاط ویژگی از تصاویر استفاده می شود. به طور خاص ، چنین رویکردی برای تشخیص نقاط با تغییر ارزش خاکستری آشکار انجام می شود. اگر تفاوت در مقادیر خاکستری بین پیکسل و نقاط همسایه آن بسیار بزرگ باشد ، ممکن است یک نقطه ویژگی کاندیداها باشد. ما همچنین اصل تشخیص الگوریتم سریع را از طریق یک مثال خاص نشان داده شده در شکل 1 معرفی می کنیم. برای پیکسل نقطه مرکزی ، 16 پیکسل وجود دارد که توسط زرد در محله آن مشخص شده است. اگر 12 پیکسل متوالی (سبز) وجود داشته باشد ، که مقادیر خاکستری آن بزرگتر یا کوچکتر از پیکسل N است ، به عنوان یک نقطه ویژگی در نظر گرفته می شود. معمولاً ، الگوریتم ID3 (Vieira ، Nunes ، & Bezerra ، 2018) از یادگیری ماشین به سرعت برای ساخت درخت تصمیم گیری استفاده می شود و سپس مکان 12 پیکسل را انتخاب می کند. لازم به ذکر است که بیشتر نقاط ویژگی استخراج شده با استفاده از این روش راه حل های بهینه محلی با نرخ اشتباه بالا هستند.

منتشر شده به صورت آنلاین:

شکل 1. الگوریتم سریع الگوریتم.

شکل 1. الگوریتم سریع الگوریتم.

از طرف دیگر ، از آنجا که خود سریع جهت دار نیست ، ما باید مفهوم لحظه مرتبه دوم تصاویر را معرفی کنیم تا یک جهت نقطه ویژگی اضافه شود. برای این منظور ، ابتدا محل سانتروئید یک بلوک تصویر به دست می آید و سپس با اتصال مرکز هندسی و سانتروئید این بلوک تصویر ، جهت اصلی برای هر نقطه از ویژگی ها مورد استفاده قرار می گیرد. با این کار ، توضیحات مقیاس و چرخش الگوریتم های سریع تهیه شده و می تواند برای بهبود استحکام بین تصاویر مختلف اتخاذ شود.

2. 2ایجاد توصیف کنندگان

الگوریتم مختصر برای ایجاد توضیحات نقاط ویژگی قابل استفاده است. اول ، 128 جفت پیکسل (p i ، q i) در اطراف نقطه ویژگی فوق با توجه به اشکال خاص انتخاب می شوند ، و مقادیر خاکستری آنها از یک توصیف کننده باینری 128 بعدی ، مشخص شده به عنوان x → p = مقایسه می شود. x i] 128 × 1. عنصر i th x i در این توصیف توسط (1) x i = 1 ، i (p i) تعیین می شود< I ( q i ) , 0 , o t h e r (1) where I ( p i ) and I ( q i ) are the grey values of pixels p i and q i in i th pixel pair ( p i , q i ). On the other hand, the rotation invariance is not guaranteed for the original BRIEF descriptor, and therefore the descriptors may be subject to lost when rotating images. The BRIEF descriptor after rotation can be constructed by computing Steer BRIEF using former direction information. Furthermore, the rotation invariance is realized for the eigenvectors of the ORB algorithm. In this paper, the set of feature points is denoted as X → 1 = < x → p >برای تصویر مرجع m 1 و x → 2 =< x → q >تصویر متن m 2.

2. 3تطبیق بردارهای ویژگی

به طور سنتی ، یک الگوریتم BF برای مقابله با عملکرد تطبیق استفاده می شود ، که در آن فاصله چکش (HD) به عنوان اندازه گیری شباهت در نظر گرفته می شود. HD مقدار بیت های مربوطه را در یک رشته باینری با همان ابعاد نشان می دهد. هرچه این مقدار کوچکتر باشد ، توصیف کننده های بردارهای ویژگی مشابه تر است. اگرچه ساده و سریع است ، این روش فقط عملیات منطقی "و" و "یا" را انجام می دهد که می تواند منجر به عدم تطابق بسیاری شود. شکی نیست که تأثیر زیادی برای از بین بردن عدم تطابق هنگام استفاده از الگوریتم GMS بهبود یافته بعداً وجود دارد. با توجه به ضعف جهانی بودن در استخراج نقطه ویژگی و همچنین راندمان کم و عدم تطابق در یک وکتور ویژگی ، یک الگوریتم A-ORB در بخش زیر برای ایجاد پایه ای از الگوریتم GMS بهبود یافته ارائه شده است.

3. الگوریتم A-ORB مبتنی بر چند پروب LSH

با توجه به مضرات یک الگوریتم سنتی Orb ، دو پیشرفت در این مقاله ارائه شده است: (i) استخراج نقاط ویژگی از طریق الگوریتم AGAST ، هدف از آن افزایش جهانی بودن و تکرارپذیری ضمن بهبود سرعت تشخیص است. و (ب) تطبیق بردارهای ویژگی از طریق الگوریتم هش (LSH) حساس محلی برای افزایش دقت تطبیق و زمان واقعی. در این مقاله ، این نوع الگوریتم ORB بهبود یافته الگوریتم A-ORB مبتنی بر LSH چند پروب نامگذاری شده است.

3. 1استخراج نقاط ویژگی از طریق الگوریتم بهبود یافته Agast

برای الگوریتم سریع در 2. 1 ، استخراج نقاط ویژگی به جستجوی 12 پیکسل متوالی بستگی دارد و بنابراین منجر به هزینه محاسبه عظیم می شود. با الهام از الگوریتم سریع کشش ، میر خلاقانه دو درخت تصمیم گیری را می سازد و سپس به طور خودکار آنها را به سناریوهای مختلف تغییر می دهد تا تطبیق پذیری و کارآیی الگوریتم را افزایش دهد. در ادامه ، این پیشرفت شرح داده خواهد شد.

الگوریتم AGAST شامل مجموعه ای از سؤالات است که برای تولید مجموعه ای از درختان اجرا می شوند. سپس ، با انجام الگوریتم القایی عقب مانده (Raghavan ، Shakeri ، & Pattipati ، 1999) ، ما دو درخت تصمیم بهینه به دست می آوریم که برای مناطق مسطح و مناطق پیچیده یک تصویر قابل اجرا است و درخت تصمیم مناطق مسطح را نامگذاری می کند (FA-DT) و درخت تصمیم مناطق پیچیده (CA-DT). لازم به ذکر است که درختان تصمیم فقط دستورات اجرای سؤالات اتخاذ شده هستند. در آنچه در زیر آمده است ، با استفاده از شکل 2 به عنوان نمونه ، ابتدا یک درخت در سمت چپ با استفاده از FA-DT بدست می آید. بدیهی است که طول مسیر مجموعه های برگ متفاوت است و بنابراین مجموعه های برگ از طریق طول آنها می توانند به دو کلاس تقسیم شوند ، جایی که مجموعه هایی با مسیرهای کوتاه تر توسط آبی روشن و مجموعه هایی مشخص می شوند که تشخیص آنها نمی تواند توسط آبی تیره مشخص شودبشرنقاط موجود در مجموعه های آبی روشن ایزومورفیک هستند و پیکربندی پیکسل یکسانی دارند. ما می توانیم تعیین کنیم که آیا یک مجموعه برگ مجموعه ای از نقاط ویژگی از طریق معیار AST است. علاوه بر این ، تمام مجموعه های آبی تیره را به عنوان یک مجموعه ریشه ادغام کرده و سپس CA-DT را انجام دهید. درخت به دست آمده در این شکل به سمت راست ترسیم می شود. با اتخاذ معیار AST دوباره ، نقاط ویژگی بیشتر استخراج می شوند و در موارد به دست آمده توسط FA-DT ادغام می شوند. با توجه به استفاده از دو درخت تشخیص ، این الگوریتم می تواند بهتر با استخراج نقاط ویژگی برای پیچیده تر مقابله کند و از آموزش های تکراری در محیط های جدید جلوگیری کند.

منتشر شده به صورت آنلاین:

شکل 2. الگوریتم تشخیص AGAST با دو درخت تشخیص.

شکل 2. الگوریتم تشخیص AGAST با دو درخت تشخیص.

از طرف دیگر ، خود الگوریتم AGAST دارای خاصیت جهت نیست ، که باید یک جهت نقطه ویژگی را اضافه کند. برای این منظور ، ما روش Centroid شدت را برای تعیین جهت اصلی مناطق بلوک تصویر معرفی می کنیم. سانتروئید در اصل مرکز وزنی مقادیر خاکستری یک بلوک تصویر است. به طور خاص ، برای یک بلوک تصویر کوچک B ، لحظه بلوک تصویر به عنوان (2) M I J = ∑ (P ، Q) ∈ B P I Q J I (P ، Q) ، I ، J = تعریف می شود.< 0 , 1 >(2) جایی که من (p ، q) مقدار خاکستری نقطه (p ، q) را در این بلوک تصویر نشان می دهد. طبق (2) ، می توانیم Centroid C Block Image را دریافت کنیم.(3) (P C ، Q C) = M 10 M 00 ، M 01 M 00 (3) که در آن (P C ، Q C) موقعیت Centroid است. با اتصال مرکز هندسی O و Centroid C ، می توانیم یک بردار جهت O C → دریافت کنیم ، و جهت نقطه ویژگی را به شرح زیر تعریف می کنیم (4) θ = a r c t a n (2 b / (a - c)) 2 ، θ ∈[ - 90 ∘ ، 90 ∘] (4) که در آن a = m 20 m 00 - p c 2 ، b = m 11 m 00 - p c c q c ، c = m 02 m 00 - q c 2. افزودن این جهت ضمن حفظ جهانی بودن و کارآیی الگوریتم AGAST ، نیاز به برخی از تصاویر چرخان را برآورده می کند.

3. 2روش تطبیق نقطه ویژگی بهبود یافته

اگرچه تطبیق BF بر اساس HD ساده و سریع است ، اما میزان خطای آن خیلی زیاد است ، که تا حد زیادی بر حذف عدم تطابق بعدی در الگوریتم GMS تأثیر می گذارد. برای غلبه بر این کمبود ، ما جایگزین تطبیق سنتی BF با رویکرد چند پروانه LSH می شویم. این رویکرد یک جفت مسابقه اولیه را در حالی که بازده زمان بالایی را حفظ می کند ، فراهم می کند.

الگوریتم اصلی LSH بر اساس پرس و جو تعداد زیادی از جداول هش است. به طور خاص ، تمام بردارهای ویژگی در تصویر M 1 در مجموعه ای از سطل های هش نقشه برداری می شوند. وکتور ویژگی X → 2 در تصویر M 2 نیز به عنوان وکتور پرس و جو از طریق همان عملکرد نقشه برداری (یعنی عملکرد هش) در سطل هش نقشه برداری می شود. الگوریتم اصلی LSH یک جستجوی جهانی است که می تواند در هنگام اطمینان از صحت جستجوی آن ، زمان زیادی از پرس و جو را هزینه کند. دشوار نیست که ببینیم بردارهای ویژگی مشابه در تصویر M 2 ممکن است در همان سطل هش یا یک سطل هش مجاور نقشه برداری شوند. به عبارت دیگر ، سطل هش از وکتور نقطه پرس و جو X → 2 در تصویر دوم باید در صورت عدم نقشه برداری در سطل هش درگیر در این نقطه پرس و جو ، در سطل هش در این نزدیکی گنجانده شود. در این مقاله ، از یک تابع LSH چند پروانه برای غلبه بر کمبود جستجوی جهانی استفاده می شود. ایده اصلی استفاده از یک دنباله پروب با دقت انتخاب شده برای تشخیص سطل های هش چندگانه است که ممکن است حاوی نزدیکترین همسایگان باشد. یعنی فقط باید سطل های هش مجاور را بررسی کنید ، و دیگر نیازی به بررسی تمام جداول هش نیست ، که این امر باعث کاهش زمان پرس و جو می شود و راندمان تطبیق را بهبود می بخشد. در آنچه در زیر آمده است ، اجازه دهید در مورد این الگوریتم چند پروانه LSH بحث کنیم.

اول ، عملکرد هش به عنوان (5) ساعت a ، b (x → k) = a x → k + b w (5) مشخص می شود که در آن a یک توالی تصادفی است که توسط توزیع پایدار p ایجاد می شود ، B یک سر و صدای تصادفی در بازه است (0 ، w) ، w طول تقسیم خط تقسیم شده و x → k ویژگی استخراج شده از تصویر است (جایی که k = 1 برای تصویر m 1 و k = 2 برای تصویر m 2). معمولاً x → k یک بردار با ابعاد بالا است و از این رو به قطعات مختلف تقسیم می شود. این قطعات عملکرد هش را با توابع مختلف هش انجام می دهند تا مجموعه ای از جدول زیر هاش را برای بهبود سرعت جستجو بدست آورند. در این مقاله ، ابعاد 128 است و مقدار جدول زیر هاش j است. برای تصویر M 1 ، یک جدول هش از طریق الگوریتم اصلی LSH با مجموعه ای از توابع هش (مشابه (5)) بدست می آید. چنین جدول به عنوان (6) H B = [H B 1 ، H B 2 ،… ، H B J] (6) جایی که H B I مخفف I Th Query Sub-Hash-Table از بردارهای ویژگی است ، مشخص شده است.

برای بردار پرس و جو مورد نظر X → 2 ، سطل های هش به دست آمده توسط الگوریتم اصلی LSH به عنوان H B (x → 2) مشخص می شوند: (7) H B (x → 2) = [H B 1 (x → 2) ،H B 2 (x → 2) ،… ، H B J (x → 2)] (7) برای انجام یک جستجوی چند فربندی ، ما مجموعه ای از بردارهای آشفتگی هش Δ k را معرفی می کنیم: (8) Δ k = [δ k1 ، Δ k 2 ،… Δ k j] (8) که در آن k = 1 ، 2 ،… ، v و v تعداد پروب از پیش تعیین شده است. با بهره گیری از این بردار ، سطل هش برای شناسایی H B (x → 2) + Δ k است. علاوه بر این ، H B I (x → 2) + Δ k I سطل هش است که بردار آشفتگی Δ K I را به H B I (X → 2) اعمال می کند.

اکنون ، شکل 3 مکانیسم جستجوی الگوریتم چند پروانه LSH را نشان می دهد. H B I (X → 2) سطل هش از پرس و جو I Th یک بردار ویژگی x → 2 ، H B I مربوط به جدول زیر هاش است که توسط تصویر M 1 و δ 1 ، δ 2 ،… تشخیص داده می شود. توالیهر بردار به مجموعه ای منحصر به فرد از مقادیر هش نقشه برداری می شود تا یک سطل هش به طور مکرر شناسایی نشود. به دلیل استفاده از بردارهای آشفتگی ، می توانیم به طور همزمان سطل های هش بیشتری را از H B جستجو کنیم که احتمالاً نزدیک به سطل Object Object Object X → 2 هستند و می توانند نزدیکترین همسایه X → 2 را داشته باشند. سرانجام ، مجموعه نقاط ویژگی تطبیق به دست آمده توسط الگوریتم پیشنهادی به عنوان x → M a t = مشخص می شود< ( x → p , x → q ) >برای راحتی آنالیز زیر ، جایی که x → P ∈ X → 1 و X → Q ∈ X → 2.