دیافراگم

آیا تاکنون شیء را دیده اید که به نظر می رسد هنگام بزرگنمایی خود را تکرار می کند؟نه؟خوب ، امروز یک روز عالی برای شماست. امروز ، شما در مورد فراکتال ها خواهید آموخت.

بنابراین ، شما ممکن است بپرسید که یک فراکتال دقیقاً چیست؟خوب ، یک فراکتال ، به تعریف ، یک منحنی یا شکل هندسی است که هر قسمت از آن دارای ویژگی آماری یکسانی به عنوان کل است.

فراکتال ها در مدل سازی سازه ها (مانند خطوط ساحلی فرسایش یافته یا برف) مفید هستند که در آن الگوهای مشابه در مقیاس های به تدریج کوچکتر عود می کنند ، و در توصیف پدیده های تا حدی تصادفی یا هرج و مرج مانند رشد کریستال ، تلاطم سیال و شکل گیری کهکشان.

یک نمونه از یک فراکتال یک گل کلم رومانسکو است: با بزرگنمایی ، قطعات کوچکتر مانند کل گل کلم در مقیاس کوچکتر به نظر می رسند.

نمونه هایی از این الگوی تکراری در هر مقیاس در طبیعت ، از صدف ، کریستال ها ، برگ ها و پرها گرفته تا ابرها ، خطوط ساحلی ، کوه ها و کهکشان های مارپیچ وجود دارد. ما این الگوهای فراکتال و روشهای توصیف ، تولید و اندازه گیری این شکل ها را بررسی خواهیم کرد.

فهرست

• شفابتی بودن و فراکتال ها در هندسه
• فراکتال در جبر
• ابعاد فراکتال
• سواحل انگلیس چقدر طول می کشد؟
• الگوهای خود تکرار سرگرم کننده
• گالری فراکتال ها در طبیعت

شفابتی بودن و فراکتال ها در هندسه

ابتدا بیایید با خاصیت فراکتال هایی که در گل کلم رومانسکو مشاهده کردیم ، شروع کنیم.

خاصیت: شفابخش بودن خاصیتی است که بزرگنمایی در یک شیء یک الگوی تکراری بی پایان ایجاد می کند.

نمونه دیگر از خود شف بودن در طبیعت الگوهای تکرار شونده آب و برف های تبلور است.

"Frost Pattes 2" توسط Schnobby (مجوز تحت CC BY-SA 3. 0 از طریق Wikimedia Commons http://commons. wikimedia. org/wiki/file: الگوهای 2. jpg)

چگونه می توانیم این الگوهای خود را توصیف کنیم و چگونه می توانیم از نظر ریاضی شکل های خودی را تولید کنیم که در هر بزرگنمایی قابل تکرار هستند؟ما الگوهای فراکتالی را در برف های برفی دیده ایم ، بنابراین بیایید با تولید یک الگوی خودی شبیه به یک برف برفی شروع کنیم.

کچ برف

با شروع مثلث یک طرفه ، با استفاده از سوم میانی هر طرف به عنوان پایه ، یک مثلث دو طرفه ایجاد کنید و سپس پایه مثلث را بردارید. اکنون ، این فرآیند را برای هر بخش خط در شکل حاصل تکرار کنید. در اینجا چند تکرار اول:

ادامه این فرآیند باعث می شود تا برف کچ در حد مجاز باشد. در اینجا یک نزدیکی از مرز پس از تکرارهای متعدد وجود دارد:

از آنجا که بزرگنمایی در برف کچ ، منحنی می دهد که یک نسخه از خود در مقیاس کوچکتر (به نام منحنی Koch) است ، برف کچ ، شغلی خود را نشان می دهد.

اگر مثلث دو طرفه که از آن شروع می کنیم دارای طول جانبی 1 است ، توجه داشته باشید که با جایگزینی هر بخش خط 4 4 4 قسمت از یک سوم طول ، طول را در هر مرحله 4 3 frac 3 4 ضرب می کنیم. این نشان می دهد که پس از مراحل n n n ، طول محیط 3 ⋅ (4 3) n 3 cdot سمت چپ ( frac راست)^n 3 ⋅ (3 4) n ، بنابراین ستاره Koch اگر دارای محیط نامتناهی باشداندازه گیری به عنوان یک منحنی 1 بعدی.

با این حال ، همانطور که بعداً خواهیم دید ، این به این دلیل بوجود می آید که باید برف کچ بیش از 1 بعد داشته باشد و تلاش برای اندازه گیری یک شکل در بعد اشتباه پاسخی بی معنی می دهد. این شبیه به تلاش برای اندازه گیری مقدار یک نخ بسیار نازک مورد نیاز برای پوشاندن یک مربع 2 بعدی است. ما از آنجا که سعی می کنیم یک شی 2 بعدی را با یک منحنی یک بعدی اندازه گیری کنیم ، به یک موضوع بی نهایت طولانی نیاز داریم.

منطقه محصور شده توسط برف کچ از یک مثلث دو طرفه با طول جانبی 1 چیست؟

E. منطقه بی نهایت است

برف کچ نشان می دهد که حتی اگر فراکتال ها پیچیده باشند ، می توان آنها را با استفاده مکرر از قوانین ساده تولید کرد. ما می توانیم مثلث شروع برف کچ به عنوان آغازگر و مرحله تعویض هر خط توسط یک قله به عنوان ژنراتور فکر کنیم. اگر در عوض با یک بخش خط به عنوان آغازگر شروع کنیم و از ژنراتور زیر استفاده کنیم ، الگوی متفاوتی به دست می آوریم.

این مثالها خصوصیات زیر از فراکتال ها را نشان می دهد.

فراکتال ها در مقیاس های کوچک خودسرانه جزئیات دارند و بی نظمی را نشان می دهند که نمی توان آن را با زبان هندسی سنتی توصیف کرد.

به عبارت دیگر ، فراکتال اشیاء هستند که به هر بزرگنمایی ، هرگز "صاف" نمی شوند که مانند فضای اقلیدسی به نظر برسند.

فراکتال در جبر

فراکتال ها همچنین با تکرار یک محاسبه ساده بارها و تغذیه خروجی به ورودی بوجود می آیند. اولین فراکتال که ما در نظر می گیریم نام Benoit Mandelbrot است که در دهه 1960 کلمه Fractal را ابداع کرد تا ایده تکه تکه شدن را در همه مقیاس ها ضبط کند.

مجموعه Mandelbrot

هر تعداد پیچیده را می توان به عنوان یک نقطه در یک هواپیمای پیچیده 2 بعدی تصور کرد. شروع با Z 0 = 0 ، z_0 = 0 ، z 0 = 0 ، دنباله Z 1 ، Z 2 ، Z 3 ،… z_1 ، z_2 ، z_3 ، ldots z 1 ، z 2 ، z 3 ،… با استفاده از معادله

z n + 1 = z n 2 + c. z_ = z^2_ + c. z n + 1 = z n 2 + c.

رنگ آمیزی نقاط c c c را در صفحه پیچیده c mathbb c بسته به اینکه توالی حاصل Z 1 ، Z 2 ، Z 3 ،… z_1 ، z_2 ، z_3 ، ldots z 1 ، z 2 ، z 3 را در نظر بگیرید.، ... تمایل به بی نهایت دارد. تمام مقادیر شروع C Mathbb C در خارج از مجموعه Mandelbrot باعث ایجاد دنباله ای می شود که به بی نهایت می رود. رنگ پیکسل ها با توجه به اینکه دنباله به سرعت از مبدا دورتر می شود (و به سمت بی نهایت فرار می شود) تعیین می شود. تمام نقاط موجود در مجموعه Mandelbrot دنباله ای را ایجاد می کند که مقادیر آن کوچکتر یا متناوب بین یک دامنه از مقادیر ثابت است.

مرز مجموعه Mandelbrot مجموعه ای از نقاط P P P است که برای آن هر دایره ای که در P P قرار دارد ، حاوی نقاط در مجموعه ماندلبروت است و نه در مجموعه Mandelbrot. با بزرگنمایی در مرز مجموعه Mandelbrot ، می بینیم که حاوی نسخه های بی نهایت بسیاری از مجموعه Mandelbrot است.

ست های جولیا

اکنون ، به جای تغییر C C C ، فرض کنید مقدار C C C را برطرف می کنیم و برای هر نقطه z 0 z_0 z 0 در صفحه پیچیده ، دوباره دنباله Z 1 ، Z 2 ، Z 3 ،… z_1 ، z_2 ، z_3 ، را در نظر بگیرید. ldots z 1 ، z 2 ، z 3 ،… تولید شده توسط

z n + 1 = z n 2 + c. z_ = z^_ + c. z n + 1 = z n 2 + c.

اکنون ، رنگ در نقاط شروع z 0 z_0 z 0 در هواپیمای پیچیده ای که توالی آنها به بی نهایت فرار نمی کند. این باعث می شود یک مجموعه جولیا برای هر شماره پیچیده C C C ایجاد شود. در اینجا چند نمونه از مرزهای تنظیم شده جولیا آورده شده است:

جولیا مرز C ≈ - 0. 75 + 0. 047 i را تعیین کرد. mbox< Julia set boundary for >C تقریب ا-0. 75 +0. 047i. جولیا مرز C ≈ - 0 را تعیین کرد. 7 5 + 0. 0 4 7 من.

جولیا مرز C ≈ - 0. 74543 + 0. 113 i را تعیین کرد. mbox C تقریب ا-0. 74543+0. 113i. جولیا مرز C ≈ - 0 را تعیین کرد. 7 4 5 4 3 + 0. 1 1 3 من.