چند مثلث وجود دارد؟در اینجا نحوه حل معما آورده شده است

شمارش شما را به جایی نمی رساند. به جای آن ، کمی ترکیبی را امتحان کنید.

برای هر دوست یک داستان ارسال کنید

به عنوان یک مشترک ، شما 10 مقاله هدیه ای برای ارائه هر ماه دارید. هرکسی می تواند آنچه را که به اشتراک می گذارید بخوانید.

به این مقاله بدهید به این مقاله این مقاله را ارائه دهید

یک معما توسط Po-Shen Loh ، ریاضیدان در دانشگاه کارنگی ملون. شش خط در یک هواپیما ، هیچ یک موازی و هیچ نقطه ای که بیش از دو خط در آن تلاقی کنند وجود ندارد. چند مثلث ایجاد می شود؟اعتبار. پوزن

چند هفته پیش ، من در مورد یک مشکل ریاضی ویروسی نوشتم - 8 ÷ 2 (2+2) =؟- این باعث بیزاری بسیاری از ریاضیدانان شد زیرا حاوی ریاضیات واقعی کمی بود. در جای خود ، من یک مشکل ریاضی جالب تر را که توسط Po-Shen Loh از دانشگاه کارنگی ملون ارائه شده است ، شرح دادم.

بر خلاف "مشکل ویروسی" ، این معما به نماد گمراه کننده وابسته نبود. در حقیقت ، هیچ گونه نماد وجود ندارد ، فقط یک نمودار و یک سؤال: چند مثلث توسط این شش خط تقاطع شکل می گیرد؟(احتیاط ، که در نگاه کردن به نمودار مشهود است ، این است که هیچ دو خط موازی نیستند ، و هیچ نقطه ای وجود ندارد که بیش از دو خط از هم جدا شوند.) این چالش ، در حالت ایده آل ، فهمیدن روشی برای محاسبه جواب بود ، نه اینکه حساب کنیم. با دقت.

من جواب را فاش نکردم ، اگرچه من یک نکته مهم از دکتر لوه ارائه دادم: "مثلث از سه خط ساخته شده است. بنابراین اگر من شش خط دارم ، تمام این سؤال مطرح می شود که چگونه می توانم سه خط را از این شش خط انتخاب کنم؟ "

در توییتر و در نظرات در وب سایت تایمز ، مشخص شد که برخی از خوانندگان بلافاصله می دانستند که چگونه مشکل را حل کنند زیرا آنها ترکیبی را آموخته اند ، منطقه ای از ریاضیات که تعداد روش هایی را می توان از بین برد. خوانندگان دیگر فقط سعی کردند حساب کنند ، یک کار تقریبا ناامید کننده. دکتر لوه گفت: "من فکر نمی کنم تا به حال با کسی که درست حساب کرده است ملاقات کرده ام."

برای حل مشکل ، با این مشاهده شروع کنید: هر سه خط در نمودار یک و تنها یک مثلث را تعریف می کنند. از این رو نتیجه می گیرد که تعداد کل مثلث ها برابر با تعداد ترکیبات سه خطی خواهد بود که می توانند از گروه شش خط انتخاب شوند.

چگونه آن را محاسبه می کنید؟یک خط ، هر خط را انتخاب کنید. از آنجا که شش خط وجود دارد ، شش گزینه وجود دارد. در مرحله بعد ، یک خط را انتخاب کنید تا قسمت دوم مثلث باشد. در ابتدا ، شما ممکن است فکر کنید که دوباره شش انتخاب وجود دارد ، اما یک خط قبلاً به عنوان خط برای طرف اول انتخاب شده است ، بنابراین فقط پنج انتخاب باقی مانده است. به همین ترتیب ، برای طرف سوم مثلث ، چهار خط برای انتخاب وجود دارد.

بنابراین ، تعداد کل راه هایی که می توانید طرف های مثلث را انتخاب کنید برابر است با 4 × 5 × 4 یا 120. به وضوح ، 120 مثلث در نمودار وجود ندارد. به این دلیل است که همه این ترکیبات بیش از یک بار شمارش می شوند.

برای وضوح ، خطوط را از 1 تا 6 شماره بگیرید و به مثلث تعریف شده توسط خطوط 1 ، 2 و 3 نگاه کنید. این مثلث یکسان است که آیا شما خط 1 را انتخاب می کنید ، سپس خط 2 ، سپس خط 3. یا خط 1 ، سپس خط 3 ، سپس خط 2.

در واقع ، راه های زیادی برای ایجاد آن مثلث وجود دارد ، زیرا راه هایی برای انتخاب خطوط 1 ، 2 و 3 وجود دارد. رقم ها را به هر روشی: 123 ، 132 ، 213 ، 231 ، 312 ، 321. به همین ترتیب ، هر مثلث در نمودار می تواند شش روش ممکن ایجاد شود.

بنابراین اکنون ، افزونگی را تقسیم کنید. تعداد کل مثلث های ایجاد شده توسط آن شش خط (4 × 5 × 5)/6 یا 20 است. این جواب است.

اینجا جایی است که ریاضی قدرتمند می شود. همین روش برای هر تعداد خط کار می کند. چند مثلث توسط هفت خط غیر موازی ایجاد می شود؟این (5 × 6 × 5)/6 یا 35 است. حدود 23 خط چیست؟(23 23 22 22 23)/6 ، یا 1،771. حدود 2300 خط چطور؟این (2298 22 2299 2299)/6 است که تعداد زیادی آن است: 2،025،189،100.

همان محاسبه بدون توجه به چند خط وجود دارد. این رویکرد را با شمارش نیروی بی رحمانه مقایسه کنید ، که نه تنها زحمتکش و مستعد خطا است بلکه هیچ راهی برای بررسی پاسخ فراهم نمی کند. ریاضی راه حل و دلیل منطقی را برای آن تولید می کند.

همچنین نشان می دهد که سایر مشکلات ، از نظر قلب ، یکسان هستند. توپ های شش رنگ مختلف را درون یک کیسه قرار دهید. سه نفر را بیرون بکشید. چند ترکیب رنگ ممکن مختلف وجود دارد؟20 ، البته.

این ترکیبی است ، و برای حل مشکلات این نوع مفید است. این با نماد خاص خود ، برای ساده کردن روند محاسبه ، و شامل بسیاری از نقاط تعجب است. بیان n!- "n فاکتوریل" ، وقتی با صدای بلند گفت - محصول ضرب همه عدد صحیح را از 1 تا n توصیف می کند. بنابراین 1! برابر 1 ؛2برابر 2 × 1 یا 2 ؛3! برابر است 3 × 2 × 1 یا 6. و غیره.

در مشکل دکتر لوه ، محاسبه تعداد مثلث ها را می توان مانند این بازنویسی کرد: 6!/(3! 3!).

می توان آن را به صورت C (6،3) نوشت ، که به عنوان "6 انتخاب 3" خوانده می شود. به طور گسترده تر ، این Mathspeak برای تعداد روش های انتخاب 3 مورد از 6 است. این به این شکل تعمیم یافته است:

این معادله ای است که دانش آموزان از آن یادآوری می کنند ، میانبر مفید. نگاه دقیق تری به آن بدهید. قسمت اول - n!/(n - r)!- همان چیزی است که در محاسبه مثلث 4 × 5 × 4 را ضبط می کند. r! همان چیزی است که افزونگی ها را از بین می برد.

به این معنی که ، اگر فرمول را فراموش کردید ، می توانید با یادآوری آنچه قرار است حل شود ، آن را بازسازی کنید. در آنجا زیبایی ریاضی یا بخشی از آن نهفته است. یک معادله خوب بیش از تلاوت قوانین است. این بیان می کند که چرا این قوانین وجود دارد ، الگوهای را نشان می دهد و به مشکلات جدید برای مقابله با آن اشاره می کند.< Pan> در مشکل دکتر لوه ، محاسبه تعداد مثلث ها را می توان مانند این بازنویسی کرد: 6!/(3! 3!).